HOMOTECIAS

¿que es una homotecia?

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón (λ) diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro.

Se puede considerar a la homotecia una homología particular de eje impropio, con centro en el de homología.

Homotecia con centro O y λ>1

Las homotecias transforman una figura plana en otra figura de igual forma, pero de menor o mayor tamaño, según el valor de la razón, k. Si kes positivo la homotecia es directa, y si no, es inversa. 

Homotecia directa y homotecia inversa

• Si k > 0, A y A′ están al mismo lado de O, y se dice que lahomotecia es directa.

• Si k < 0, A y A′ están a distinto lado de O, y se dice que lahomotecia es inversa.

A la figura ABC le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k < 0; homotecia inversa.

En una homotecia de centro el punto O y razón k:

A la figura ABCD le hemos aplicado una homotecia de centro O y razónk, con k > 0; homotecia directa.

homotecia directa

homotecia inversa

Propiedades de las homotecias

1.^o Toda recta que pasa por el centro de homotecia es invariante, es decir, se transforma en sí misma.

homotecia recta

2.^o Toda recta que no pasa por el centro de homotecia se transforma en otra recta paralela a la dada.

3.^o La razón de dos segmentos homotéticos es igual a la razón k de la homotecia.

SEGMENTOS HOMOTETICOS

4.^o Una homotecia transforma los ángulos en ángulos iguales.

angulos homoteticos

• en el siguiente video podemos ver un ejemplo de homotecia directa o positiva:

• en el siguiente video podemos ver un ejemplo de homotecia inversa:

Caracteristicas:
1.- medidad proporcionales
2.-son semejantes
3.-angulos iguales
4.-son a escala

Tipos de homotecia:

1.-HOMOTECIA DIRECTA: es aquella en la cual el punto de homotecia o el centro de homotecia se encuantra despues o antes de la figura trazada. La caracteriztica principal es que los segmentos entre las figuras son paralelas.

2.-HOMOTECIA INVERSA: Es aquella en la cual el centro de homotecia se encuentra entre la figura.

La homotecia tambien puede ser positiva o negativa. Determinan la razon que se tome es decir, el factor principal por el cual se multiplica.
Para encontrar la razon de homotecia debe colocarse uno a uno cada lado o segmento de las figuras y sacar la constante de proporcionalidad. 

Sea k un número positivo, cuando aplicamos una homotecia de centro O y razón k a un punto cualquiera P, obtenemos otro punto P' de la semirrecta que definen O y P, de manera que

Al punto P' lo denominaremos homólogo de P.

Ten en cuenta que si k<1, el punto P' queda situado entre O y P.

También se pueden considerar homotecias en la que la razón sea negativa, en la  figura tienes el efecto de aplicar una homotecia de centro O y razón -2 al Triángulo ABC:

Cuando la razón es negativa, el centro de la homotecia queda situado entre el punto y su imagen.