GEOMETRÍA ANALÍTICA (CÓNICAS)

GEOMETRÍA ANALÍTICA:

CÓNICAS:

• se le denomina sección cónica o (simplemente cónica) a todas la curvas de intersección entre un cono y un plano, si dicho plano no pasa por el vértice se obtiene las cónicas propiamente dichas se clasifican en tres tipos:

1. elipse 
2. parábola
3. hipérbole

 ELIPSE:

• le denominamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancia a dos puntos fijos del plano es constante
• la excentricidad de una elipse es el grado de achatamiento y su valor esta determinado por la expresión:

1. cuanto mayor sea la excentricidad mas achatada es la elipse. en una elipse a>c>0 por lo tanto la excentricidad es positiva y menor que uno.

  ECUACIÓN:supongamos que el origen de las coordenadas esta en el centro de la elipse coinciden con el eje entonces los focos son:

                     F1 = (-C,0)      Y        F2 = (C,0)

  ELEMENTOS DE LA ELIPSE:

1. FOCOS: son los puntos fijos F Y F 
2. EJE FOCAL: es la recta que pasa por los focos 
3. EJE SECUNDARIO: es la mediatriz del eje FF 
4. CENTRO: es el punto de intersección de los ejes 
5. RADIOS VECTORES: son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos PF
6. DISTANCIA FOCAL:  es el segmento FF de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal
7. VÉRTICES : son los puntos de intersección de la elipse con los ejes A,A , B Y B 
8. EJE MAYOR : es el segmento AA de longitud 2a , a es el valor del semieje mayor 
9. EJE MENOR : es el segmento BB de longitud 2b , b es el valor del semejante menor 
10. EJES DE SIMETRÍA : son las rectas que contiene al eje mayor o al eje menor 
11. CENTRO DE SIMETRÍA : coincide con el centro de la elipse, que es el punto de la intersección de los ejes de simetría 

  EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE: 

• la excentricidad es un numero  que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse, y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor 

                           e= c/a        c>a           0<e<1                                      c = 0  
                                                                                                              b = a
                                                                                                              e = 0 

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE:

• en esta se toma el centro de la elipse como el centro de las coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas las coordenadas de los focos son: 

   F'(-c,0) y F(c,0)    
   Cualquier punto de la elipse cumple: 
   
  
   Esta expresión da lugar a:

    

      Realizando las operaciones llegamos a:

      

ECUACIÓN REDUCIDA DE EJE VERTICAL DE LA ELIPSE:

si el eje vertical esta en el de las coordenadas se obtiene una ecuación 

ECUACIÓN DE LA ELIPSE:

• si el centro de la elipse c(X0, Y0) y el eje principal es paralelo a 0x, los focos tienen de coordenadas F(X0+C, Y0) y F(X0-C, Y0)

ECUACIÓN DE EJE VERTICAL DE LA ELIPSE:

• si el centro de la elipse c(X0,Y0) y el eje principal es paralelo 0Y, los focos tienen de coordenadas F(X₀, y+c) y F'(X₀, y₀-c).y la ecuacion de la elipse sera: